Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a equação diferencial
- Pedido: resolver por variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O termo do lado direito contém
, portanto a equação tem singularidade em . Isso já indica que não podemos ter uma solução válida em um intervalo que contenha . - A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; a parte homogênea será usada para aplicar variação dos parâmetros.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
Essa é uma quadrática cujo discriminante é
. Então há raiz dupla
Para raiz real dupla, uma base fundamental de soluções é
Essas duas funções são linearmente independentes e geram a solução geral homogênea
Passo 3
Apresentar o método de variação dos parâmetros e calcular o Wronskiano.
- Ideia rápida do método: procuramos uma solução particular da forma
onde
são funções a determinar. Impondo as condições usuais
com
(porque o coeficiente principal é
), obtemos o sistema para
e
. As fórmulas compactas são
onde
é o Wronskiano
.
Calcular
explicitamente com
e
.
Primeiro derivadas:
Primeiro derivadas:
Então
Fatorando
:
Observação:
para todo
, portanto não há degenerescência do sistema de variação dos parâmetros por causa do Wronskiano.
Passo 4
Calcular
e
e integrar para obter
.
Usando as fórmulas:
Agora integramos. Para
:
Essa integral não é elementar em termos de funções elementares; é expressa pela função integral exponencial
. A convenção prática é
Portanto, com
,
Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, vamos escolher a primitiva sem constante:
Para
calculamos
Integramos por partes para escrever em termos de
. Tome
e
. Então
e
. Assim
Usando a expressão com
,
Novamente ignoramos a constante (absorvida na homogênea) e tomamos
Observação sobre
: para argumentos negativos
está bem definido para
(com comportamento singular logarítmico quando
). Isso reforça que
deve ficar fora do intervalo de validade.
Passo 5
Construir a solução particular
e simplificar.
Substituindo:
Multiplicando os termos:
Porque:
- o produto
; - os termos com
somam para .
Passo 6
Escrever a solução geral e discutir o intervalo de validade.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Intervalo de validade:
- A equação original tem termo
; portanto é singular e a solução geral não é válida em um intervalo que contenha . - Além disso, usamos integrais que introduzem
, que tem singularidade logarítmica em . O Wronskiano é diferente de zero para todo , então não há outro problema de degenerescência. - Logo, a solução acima é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha
; por exemplo ou ou qualquer intervalo com .
Dica de verificação rápida: derivar e substituir na equação original confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação (a verificação exige uso das derivadas de
, notando
— na prática utiliza-se
via definição formal; a verificação é direta mas um pouco longa).
Resposta
Válida em qualquer intervalo aberto que não contenha
, por exemplo
ou
.