Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+25 y=e^{-10 x} / x^{2}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a equação diferencial
y''+10y'+25y=\frac{e^{-10x}}{x^{2}}.
  • Pedido: resolver por variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo do lado direito contém \dfrac{1}{x^{2}}, portanto a equação tem singularidade em x=0. Isso já indica que não podemos ter uma solução válida em um intervalo que contenha x=0.
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; a parte homogênea será usada para aplicar variação dos parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+10y'+25y=0.
Formamos a equação característica
r^{2}+10r+25=0.
Essa é uma quadrática cujo discriminante é 10^{2}-4\cdot1\cdot25=100-100=0. Então há raiz dupla
r=-5 \quad(\text{multiplicidade }2).
Para raiz real dupla, uma base fundamental de soluções é
y_{1}(x)=e^{-5x},\qquad y_{2}(x)=x e^{-5x}.
Essas duas funções são linearmente independentes e geram a solução geral homogênea
y_{h}(x)=C_{1}e^{-5x}+C_{2}x e^{-5x}.

Passo 3

Apresentar o método de variação dos parâmetros e calcular o Wronskiano.
  • Ideia rápida do método: procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impondo as condições usuais
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,\qquad u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x),
com g(x)=\dfrac{e^{-10x}}{x^{2}} (porque o coeficiente principal é 1), obtemos o sistema para u_{1}' e u_{2}'. As fórmulas compactas são
u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W},
onde W é o Wronskiano W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Calcular W explicitamente com y_{1}=e^{-5x} e y_{2}=x e^{-5x}.
Primeiro derivadas:
y_{1}'=-5e^{-5x},\qquad y_{2}'=(1-5x)e^{-5x}.
Então
W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'=e^{-5x}(1-5x)e^{-5x}-x e^{-5x}(-5e^{-5x}).
Fatorando e^{-10x}:
W=e^{-10x}\big((1-5x)+5x\big)=e^{-10x}.
Observação: W(x)=e^{-10x}\neq0 para todo x, portanto não há degenerescência do sistema de variação dos parâmetros por causa do Wronskiano.

Passo 4

Calcular u_{1}' e u_{2}' e integrar para obter u_{1},u_{2}.
Usando as fórmulas:
u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W}=-\frac{x e^{-5x}\cdot \dfrac{e^{-10x}}{x^{2}}}{e^{-10x}} =-\frac{e^{-5x}}{x},
u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W}=\frac{e^{-5x}\cdot \dfrac{e^{-10x}}{x^{2}}}{e^{-10x}} =\frac{e^{-5x}}{x^{2}}.
Agora integramos. Para u_{1}:
u_{1}(x)=-\int \frac{e^{-5x}}{x}\,dx.
Essa integral não é elementar em termos de funções elementares; é expressa pela função integral exponencial \operatorname{Ei}. A convenção prática é
\int \frac{e^{kx}}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(kx)+\text{const.}
Portanto, com k=-5,
u_{1}(x)=-\operatorname{Ei}(-5x)+\text{const.}
Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, vamos escolher a primitiva sem constante:
u_{1}(x)=-\operatorname{Ei}(-5x).
Para u_{2} calculamos
u_{2}(x)=\int \frac{e^{-5x}}{x^{2}}\,dx.
Integramos por partes para escrever em termos de \operatorname{Ei}. Tome u=e^{-5x} e dv=x^{-2}dx. Então du=-5e^{-5x}dx e v=-\dfrac{1}{x}. Assim
\int \frac{e^{-5x}}{x^{2}}\,dx = -\frac{e^{-5x}}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right)(-5e^{-5x})\,dx = -\frac{e^{-5x}}{x} -5\int \frac{e^{-5x}}{x}\,dx.
Usando a expressão com \operatorname{Ei},
\int \frac{e^{-5x}}{x^{2}}\,dx = -\frac{e^{-5x}}{x} -5\operatorname{Ei}(-5x)+\text{const.}
Novamente ignoramos a constante (absorvida na homogênea) e tomamos
u_{2}(x)=-\frac{e^{-5x}}{x} -5\operatorname{Ei}(-5x).
Observação sobre \operatorname{Ei}: para argumentos negativos \operatorname{Ei}(-5x) está bem definido para x\neq0 (com comportamento singular logarítmico quando x\to0). Isso reforça que x=0 deve ficar fora do intervalo de validade.

Passo 5

Construir a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} e simplificar.
Substituindo:
y_{p}(x)=\big(-\operatorname{Ei}(-5x)\big)e^{-5x}+\Big(-\frac{e^{-5x}}{x}-5\operatorname{Ei}(-5x)\Big)\big(x e^{-5x}\big).
Multiplicando os termos:
y_{p}(x)=-e^{-10x}-\big(1+5x\big)e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x).
Porque:
  • o produto -\dfrac{e^{-5x}}{x}\cdot x e^{-5x}=-e^{-10x};
  • os termos com \operatorname{Ei}(-5x) somam para -e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x)-5x e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x)=-(1+5x)e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x).

Passo 6

Escrever a solução geral e discutir o intervalo de validade.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{-5x}+C_{2}x e^{-5x}-e^{-10x}-\big(1+5x\big)e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x).
Intervalo de validade:
  • A equação original tem termo \dfrac{1}{x^{2}}; portanto x=0 é singular e a solução geral não é válida em um intervalo que contenha 0.
  • Além disso, usamos integrais que introduzem \operatorname{Ei}(-5x), que tem singularidade logarítmica em x=0. O Wronskiano W=e^{-10x} é diferente de zero para todo x, então não há outro problema de degenerescência.
  • Logo, a solução acima é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha x=0; por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0) ou qualquer intervalo (a,b) com 0\notin(a,b).
Dica de verificação rápida: derivar e substituir na equação original confirma que a expressão encontrada satisfaz a equação (a verificação exige uso das derivadas de \operatorname{Ei}(-5x), notando \dfrac{d}{dx}\operatorname{Ei}(-5x)=\dfrac{e^{-5x}\cdot(-5)}{-5x}? — na prática utiliza-se \dfrac{d}{dx}\operatorname{Ei}(-5x)= -5\frac{e^{-5x}}{ -5x} via definição formal; a verificação é direta mas um pouco longa).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-5x}+C_{2}x e^{-5x}-e^{-10x}-\big(1+5x\big)e^{-5x}\operatorname{Ei}(-5x)
Válida em qualquer intervalo aberto que não contenha x=0, por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0).

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