Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{-x} /\left(1+x^{2}\right)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
Equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea:
y''-2y'+y=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}.
Pede encontrar a solução geral usando o método da variação dos parâmetros e indicar um intervalo onde a solução geral é válida.
Informações relevantes extraídas:
O coeficiente do termo independente é a função g(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+x^{2}}, que está definida e é contínua para todo x\in\mathbb{R} (porque 1+x^{2}\neq0 sempre).
A equação homogênea associada será usada para obter duas soluções fundamentais necessárias ao método de variação de parâmetros.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e obter duas soluções fundamentais.
A equação homogênea é
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática que se fatoriza como (r-1)^{2}=0, logo a raiz é dupla r=1.
Para uma raiz dupla r=1 as duas soluções fundamentais independentes são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar a ideia e as fórmulas da variação dos parâmetros (passo a passo didático).
Ideia: em vez de constantes C_{1},C_{2}\) tomamos funções \(u_{1}(x),u_{2}(x)\) e buscamos uma solução particular da forma
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Para determinar u_{1},u_{2} impomos a condição extra
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
que simplifica os cálculos (é uma escolha padrão para obter um sistema simples).
Derivando y_{p} e usando a condição acima obtém-se o sistema linear para u_{1}',u_{2}':
onde K_{1},K_{2} são constantes de integração. No método da variação de parâmetros escolhemos essas constantes iguais a zero ao construir uma solução particular (qualquer contribuição constante pode ser absorvida na solução homogênea). Assim uma escolha conveniente para uma solução particular é
com integrais indefinidas tomadas sem constante de integração.
Observação sobre essas integrais: as funções \dfrac{e^{-2x}}{1+x^{2}} e \dfrac{x e^{-2x}}{1+x^{2}} são contínuas para todo x\in\mathbb{R}, portanto as integrais indefinidas existem para todo real; porém elas não têm primitiva elementar expressável por combinações finitas das funções elementares mais simples (surgem funções especiais). Para fins de montar a solução geral da EDO, é legítimo deixá-las como integrais.
Passo 6
Construir a solução particular e a solução geral.
A solução particular pelo método é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo y_{1},y_{2} e u_{1},u_{2} obtemos
y_{p}(x)=e^{x}\Biggl(-\int \frac{x e^{-2x}}{1+x^{2}}\,dx\Biggr) + x e^{x}\Biggl(\int \frac{e^{-2x}}{1+x^{2}}\,dx\Biggr).
O termo não-homogêneo g(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+x^{2}} é contínuo em todo \mathbb{R}.
As soluções fundamentais y_{1},y_{2} e o Wronskiano W(x)=e^{2x} são definidos e W(x)\neq0 para todo x\in\mathbb{R}.
Logo a solução geral encontrada é válida em todo o intervalo (-\infty,\infty).