Nos Problemas 25-28, determine se o Teorema 1.1 garante que a equação diferencial y^{\prime}=\sqrt{y^{2}-9} tenha uma solução única através do ponto indicado.
(5,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Teorema 1.1 de existência e unicidade, se a EDO
y' = \sqrt{y^2 - 9}
admite solução única passando por (5,3). Para aplicar esse teorema precisamos de um retângulo aberto em (x_0,y_0)=(5,3) onde (i) f(x,y)=\sqrt{y^2-9} seja contínua e (ii) \partial f/\partial y seja contínua.

Passo 2

A função f(x,y)=\sqrt{y^2-9} está definida somente quando
y^2 - 9 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\le -3 \;\text{ou}\; y\ge 3.
No ponto (5,3) temos y=3, o que faz f(5,3)=0. Porém qualquer intervalo aberto em y contendo 3 inclui valores de y<3, onde f não está definida. Logo, não existe retângulo aberto centrado em (5,3) contido no domínio de f.

Passo 3

Mesmo que tentássemos considerar apenas y>3, o cálculo de
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{y}{\sqrt{y^2-9}}
mostra que esse derivado explode quando y\to3^+. Em particular, \partial f/\partial y não é contínua em y=3.

Passo 4

Como não podemos encontrar um retângulo aberto ao redor de (5,3) onde f e \partial f/\partial y sejam contínuas, as hipóteses do Teorema 1.1 não estão satisfeitas nesse ponto.

Resposta

O Teorema 1.1 não garante solução única passando por (5,3).

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