Seja f(x)=x^{3}-x. Encontre um número c entre 0 e 2 que satisfaz o teorema do valor médio.

Passo 1

O enunciado pede para achar um c\in(0,2) tal que, pelo Teorema do Valor Médio, haja
f'\text{(c)}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}.
Aqui f(x)=x^3-x é contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2), então podemos aplicar o teorema.

Passo 2

Calculemos f(2) e f(0):
f(2)=2^3-2=8-2=6,
f(0)=0^3-0=0.
Logo a taxa média de variação é
\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{6-0}{2}=3.

Passo 3

Agora derivamos f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-x)=3x^2-1.

Passo 4

Igualamos f'\text{(c)} à taxa média e resolvemos:
3c^2-1=3 \quad\Longrightarrow\quad 3c^2=4 \quad\Longrightarrow\quad c^2=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Como queremos c\in(0,2), ficamos com
c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1,155.

Resposta

c=\dfrac{2}{\sqrt{3}}

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