Nos Problemas 3-6, y=1 /\left(x^{2}+c\right) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}-0. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida.
y(2)=\frac{1}{3}

Passo 1

O problema dá a equação diferencial
y' + 2x\,y^2 = 0
e diz que a solução geral dessa ED é
y = \frac{1}{x^2 + c}\,.
Queremos achar a solução que satisfaz a condição inicial
y(2) = \frac{1}{3}
e determinar o maior intervalo onde essa solução existe sem singularidades.

Passo 2

Para impor y(2)=\tfrac13, substituímos x=2 e y=1/3 na expressão geral:
\frac{1}{2^2 + c} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2^2 + c = 3 \quad\Longrightarrow\quad 4 + c = 3 \quad\Longrightarrow\quad c = -1.
Logo, a solução particular é
y = \frac{1}{x^2 - 1}\,.

Passo 3

O denominador x^2 - 1 não pode ser zero, pois geraria singularidade. Assim, excluímos os pontos x = \pm1. Como a condição inicial está em x=2, o maior intervalo que contém 2 e não inclui singularidades é
I = (1,\infty).

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{1}{x^2 - 1},
definida no intervalo
I = (1,\infty).

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