Nos Problemas 25-30, use (9) para calcular as potências indicadas.
(1+raiz3 i)^9

Passo 1

Queremos calcular (1+raiz3i)^9 usando a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar determinar o módulo e o argumento de 1+raiz3i.

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo e o argumento de 1+raiz3i. O módulo é
r=raiz1^2+(raiz3)^2=raiz1+3=2
O argumento (ângulo) é
theta=arctanl(tfracraiz31r)=pi3
Portanto podemos escrever
1+raiz3i=2l(costfracpi3+isintfracpi3r)=2e^ipi/3

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre. Se z=re^itheta e n é inteiro, então
z^n=r^n e^i ntheta
No nosso caso r=2, theta=pi/3 e n=9, logo
(1+raiz3i)^9=l(2e^ipi/3r)^9=2^9 e^i9pi/3=512 e^i3pi

Passo 4

Para finalizar, usamos a fórmula de Euler para e^i3pi:
e^i3pi=cos(3pi)+isin(3pi)=-1+0,i=-1
Então
(1+raiz3i)^9=512times(-1)=-512

Resposta

-512

Exercícios relacionados