As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
un=raiz[n]2+(-1)^n;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência un = raiz[n]2 + (-1)^n é convergente e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O conteúdo envolve limites de raízes de ordem n e análise de subsequências par e ímpar.

Passo 2

Observe que para n par (digamos n=2k) temos
u2k = raiz[2k]2 + (-1)^2k = raiz[2k]3 = 3^1/(2k),
e para n ímpar (digamos n=2k+1) temos
u2k+1 = raiz[2k+1]2 + (-1)^2k+1 = raiz[2k+1]1 = 1

Passo 3

Para estudar o limite de 3^1/(2k) quando k to infty, usamos o logaritmo. Calculamos
lnl(3^1/(2k)r) = 12kln 3 xrightarrowktoinfty 0
Assim
3^1/(2k) = expl(tfracln32kr) xrightarrowktoinfty 1

Passo 4

Como tanto a subsequência par u2k quanto a ímpar u2k+1 tendem a 1, concluímos que a sequência inteira (un) é convergente e
limntoinfty un = 1

Resposta

1

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