As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
un=3^n-2^n3^n+2;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência un=3^n-2^n3^n+2 e, se possível, determinar seu limite. O conteúdo envolve cálculo de limite de sequência cujo termo geral é combinação de potências, e vamos usar fatoração e propriedades de limites para resolver.

Passo 2

Para simplificar un, fatoramos 3^n no numerador e no denominador:
3^n-2^n3^n+2 = 3^nl(1-l(tfrac23r)^nr)3^nl(1+tfrac23^nr) = 1-l(tfrac23r)^n1+tfrac23^n

Passo 3

Agora aplicamos o limite quando ntoinfty. Observamos que l(tfrac23r)^nto0 e tfrac23^nto0. Logo,
limntoinftyun = 1-01+0 = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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