Nos problemas de 25 a 36 , calcule a derivada de cada função.
g(s)=raiz9-s^29+s^2

Passo 1

A função é g(s)=raiz9-s^29+s^2. O conteúdo aqui é derivada de função composta (a raiz quadrada) aplicada a um quociente. Para resolver, vamos usar a regra do quociente para derivar f(s)=9-s^29+s^2 e, em seguida, a regra da cadeia para tirar a raiz.

Passo 2

Vamos definir f(s)=9-s^29+s^2 e calcular f'(s) pela regra do quociente. A regra do quociente diz que se f(s)=u(s)v(s), então
f'(s)=u'(s)v(s)-u(s)v'(s)[v(s)]^2
Aqui temos u(s)=9-s^2 e v(s)=9+s^2, logo u'(s)=-2s e v'(s)=2s. Substituindo,
f'(s)=(-2s)(9+s^2)-(9-s^2)(2s)(9+s^2)^2=-18s-2s^3-18s+2s^3(9+s^2)^2=-36s(9+s^2)^2

Passo 3

Agora voltamos a g(s)=l(f(s)r)^1/2. Pela regra da cadeia, se g(s)=h(f(s)) com h(x)=x^1/2, então
g'(s)=h'(f(s))cdot f'(s)=12f(s)^-1/2cdot f'(s)

Passo 4

Substituindo f(s) e f'(s):
g'(s)=12gl(9-s^29+s^2gr)^-1/2cdot-36s(9+s^2)^2=-18s(9+s^2)^2raizdfrac9-s^29+s^2

Passo 5

Para simplificar, note que
raiz9-s^29+s^2=raiz9-s^2raiz9+s^2,
então o denominador fica
(9+s^2)^2raiz9-s^2raiz9+s^2=(9+s^2)^3/2raiz9-s^2
Logo a derivada final é
g'(s)=-18s(9+s^2)^3/2raiz9-s^2

Resposta

g'(s)=-dfrac18s(9+s^2)^3/2raiz9-s^2

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