Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é a busca por uma solução particular usando o método de coeficientes a determinar. Para isso, precisamos entender como escolher uma forma adequada para a solução particular com base na parte não homogênea da equação, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma solução particular (
) da equação diferencial, geralmente assumimos uma forma semelhante à parte não homogênea. A parte não homogênea aqui é
, que é uma função exponencial. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Fatorando
:
Passo 5
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
devem ser iguais:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: