Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
y^prime prime(x)+y(x)=2^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui é a busca por uma solução particular usando o método de coeficientes a determinar. Para isso, precisamos entender como escolher uma forma adequada para a solução particular com base na parte não homogênea da equação, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma solução particular ( yp(x) = A cdot 2^x ) da equação diferencial, geralmente assumimos uma forma semelhante à parte não homogênea. A parte não homogênea aqui é , que é uma função exponencial. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de yp'(x) = A cdot ln(2) cdot 2^x para substituir na equação diferencial:
yp''(x) = A cdot (ln(2))^2 cdot 2^x

Passo 4

Substituindo yp''(x) + yp(x) = A cdot (ln(2))^2 cdot 2^x + A cdot 2^x = 2^x , A cdot [(ln(2))^2 + 1] cdot 2^x = 2^x e na equação diferencial original:
Fatorando :

Passo 5

Para que a igualdade seja verdadeira para todo A cdot [(ln(2))^2 + 1] = 1 , os coeficientes de A = 1(ln(2))^2 + 1 devem ser iguais:
Resolvendo para :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
yp(x) = 2^x(ln(2))^2 + 1

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