Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
26. L^-11s^4-9

Passo 1

O enunciado pede L^-1l1/(s^4-9)r. Vamos usar o Teorema 7.2.1 (decomposição em frações parciais) e saber que
s^4-9=(s^2-3)(s^2+3)=(s-raiz3)(s+raiz3)(s^2+3)
Então nosso objetivo é escrever
1s^4-9 =As-raiz3+Bs+raiz3+Cs+Ds^2+3
e depois inverter cada termo pelos pares usuais de Laplace.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por (s-raiz3)(s+raiz3)(s^2+3) obtemos a identidade
1 = A,(s+raiz3)(s^2+3) + B,(s-raiz3)(s^2+3) + (Cs+D),(s^2-3)
Para achar A e B, escolhemos s=raiz3 e s=-raiz3.

Passo 3

Em s=raiz3 a identidade vira
1 = A,(2raiz3),(6) =12raiz3,A Longrightarrow A=112raiz3=raiz336
Em s=-raiz3 temos
1 = B,(-2raiz3),(6) =-12raiz3,B Longrightarrow B=-112raiz3=-raiz336

Passo 4

Para determinar C e D, subtraímos as parcelas de A e B da identidade original e comparamos coeficientes de potências de s. Isso leva a
Cs+D=0cdot s-tfrac16 Longrightarrow C=0, D=-tfrac16
Logo a decomposição final é
1s^4-9 =raiz3/36s-raiz3 -raiz3/36s+raiz3 -1/6s^2+3

Passo 5

Agora invertemos cada termo usando
L^-11/(s-a)=e^a t e
L^-11/(s^2+a^2)=(1/a)sin(a t).
Assim
L^-1ltfracraiz3/36s-raiz3r =raiz336e^raiz3t, L^-1l-tfracraiz3/36s+raiz3r =-raiz336e^-raiz3t,
L^-1l-tfrac1/6s^2+3r =-16cdot1raiz3sin(raiz3t) =-16raiz3sin(raiz3t)

Passo 6

Juntando tudo e lembrando que
sinh(x)=(e^x-e^-x)/2 e 1/(6raiz3)=raiz3/18, chega-se a
f(t)=raiz336l(e^raiz3t-e^-raiz3tr) -16raiz3sin(raiz3t) =raiz318sinh(raiz3t) -raiz318sin(raiz3t)

Resposta

L^-1l1s^4-9r =raiz318l[sinh(raiz3t)-sin(raiz3t)r]

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