Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
27. L^-12 s-4(s^2+s)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
2s-4l(s^2+sr)l(s^2+1r)
O conteúdo é transformada inversa de funções racionais, usando o Teorema 7.2.1 (linearidade e transformadas básicas) e a técnica de frações parciais.

Passo 2

Note que s^2+s = s(s+1). Vamos escrever
2s-4s(s+1)(s^2+1) ;=; As ;+;Bs+1;+;Cs+Ds^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s^2+1) e igualando coeficientes de potências de s, obtemos
2s-4 ;=; A(s+1)(s^2+1);+;B,s(s^2+1);+;(Cs+D),s(s+1)
Expandindo e coletando termos em s^3,s^2,s,1 gera o sistema
A + B + C = 0, A + C + D = 0, A + B + D = 2, A = -4
Daí vem
A = -4, B = 3, C = 1, D = 3

Passo 4

Substituindo de volta, a decomposição é
2s-4s(s+1)(s^2+1) = -4s ;+;3s+1;+;s+3s^2+1

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que
L^-1tfrac1s=1,
L^-1tfrac1s+1=e^-t,
L^-1tfracss^2+1=cos t e
L^-1tfrac1s^2+1=sin t.
Logo,
L^-1ltfrac-4sr = -4, L^-1ltfrac3s+1r = 3e^-t, L^-1ltfracs+3s^2+1r = cos t + 3sin t

Resposta

f(t) = -4 ;+; 3e^-t ;+; cos t ;+; 3sin t

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