Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
29. L^-11(s^2+1)(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=1(s^2+1)(s^2+4)
O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace e vamos usar a técnica de frações parciais juntamente com o Teorema 7.2.1 (tabela de transformadas):
Lsin(at)=as^2+a^2, logo L^-11/(s^2+a^2)=1asin(at).

Passo 2

Para decompor F(s) em frações parciais, escrevemos
1(s^2+1)(s^2+4) =As^2+1+Bs^2+4
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+4), obtemos
1=A(s^2+4)+B(s^2+1)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de
Comparando coeficientes de e termos independentes, vem
Resolvendo, .

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa a cada parcela. Temos
L^-1ltfrac1s^2+1r=sin t
e
L^-1ltfrac1s^2+4r=12sin(2t).
Como F(s)=tfrac131s^2+1-tfrac131s^2+4, então

Passo 5

f(t) =13sin t -13cdot12sin(2t) =13sin t-16sin(2t)

Resposta

13sin t-16sin(2t)

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