Seja r(x, y, z)=(x, y, z) e r=raizx^2+y^2+z^2=|r|. Determinar
nabla times(r^n r)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F=r^n,r, onde r=(x,y,z) e r=raizx^2+y^2+z^2, e pede o rotor nablatimesF. Vamos usar a regra do rotor de um produto escalar por vetor.

Passo 2

Lembramos que, para um escalar phi e um vetor A, vale
nablatimes(phi,A)=nablaphitimesA+phi;(nablatimesA)

Passo 3

Aqui phi=r^n e A=r. Calculamos
nablaphi=n,r^n-1,nabla r e nabla r=nablaraizx^2+y^2+z^2 =(x,y,z)r=rr,
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nablaphi =n,r^n-1,rr =n,r^n-2,r

Passo 4

Sabemos também que nablatimesr=0, pois r=x,hatimath+y,hatjmath+z,hat k é gradiente de tfrac12(x^2+y^2+z^2). Portanto
nablatimesl(r^n,rr) =nablaphitimesr+phi;0 =n,r^n-2,(rtimesr) =0

Resposta

nablatimesl(r^n,rr)=0

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