Nos problemas 1-32, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
d yd x-y=senh x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx-y=sinh x
Isso é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocar na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

A forma padrão é
dydx+P(x),y=Q(x),
onde aqui P(x)=-1 e Q(x)=sinh x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^-xdydx-e^-xy =ddxl(e^-xyr) e e^-xsinh x
Logo obtemos
ddxl(e^-xyr)=e^-xsinh x

Passo 4

Integramos em x:
integral ddxl(e^-xyr),dx =integral e^-xsinh x,dx
Para calcular integral e^-xsinh x,dx, usamos
sinh x=tfrace^x-e^-x2, assim
e^-xsinh x =12-e^-2x2
e
integrall(12-e^-2x2r)dx =x2+e^-2x4+C

Passo 5

Ficamos com
e^-xy=x2+e^-2x4+C
Multiplicando por e^x,
y=x e^x2+e^-x4+Ce^x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=Ce^x+x e^x2+e^-x4,
onde C é constante arbitrária.

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