Resolva o PVI abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A questão é sobre encontrar a função y(t) que satisfaz a equação y' = 2 y + ty - 2t com a condição inicial y(2) = -1 . Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, incluindo substituições e integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. A equação dada é:
y' = 2 y + ty - 2t
Observamos que o denominador y - 2t sugere uma possível substituição. Vamos definir uma nova variável v da seguinte forma:
v = y - 2t
Passo 3
Agora, vamos expressar y em termos de v :
y = v + 2t
Derivando ambos os lados em relação a t , temos:
y' = v' + 2
Passo 4
Substituímos y e y' na equação diferencial original:
v' + 2 = 2 (v + 2t) + tv = 2 v + 3tv = 2 + 6tv
Simplificando:
v' = 6tv
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis v e t :
v , dv = 6t , dt
Passo 6
Integrando ambos os lados:
integral v , dv = integral 6t , dt
Calculando as integrais:
12 v^2 = 3t^2 + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
v^2 = 6t^2 + C
Passo 7
Lembrando que v = y - 2t , substituímos de volta:
(y - 2t)^2 = 6t^2 + C
Expandindo o lado esquerdo:
y^2 - 4ty + 4t^2 = 6t^2 + C
Simplificando:
y^2 - 4ty - 2t^2 = C
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial y(2) = -1 para encontrar a constante C :