Resolva o PVI abaixo, calculando a solução explícita se possível:
ly^prime=2 (y+t)y-2 t y(2)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A questão é sobre encontrar a função y(t) que satisfaz a equação y' = 2 y + ty - 2t com a condição inicial y(2) = -1 . Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, incluindo substituições e integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. A equação dada é:
y' = 2 y + ty - 2t
Observamos que o denominador y - 2t sugere uma possível substituição. Vamos definir uma nova variável v da seguinte forma:
v = y - 2t

Passo 3

Agora, vamos expressar y em termos de v :
y = v + 2t
Derivando ambos os lados em relação a t , temos:
y' = v' + 2

Passo 4

Substituímos y e y' na equação diferencial original:
v' + 2 = 2 (v + 2t) + tv = 2 v + 3tv = 2 + 6tv
Simplificando:
v' = 6tv

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis v e t :
v , dv = 6t , dt

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral v , dv = integral 6t , dt
Calculando as integrais:
12 v^2 = 3t^2 + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
v^2 = 6t^2 + C

Passo 7

Lembrando que v = y - 2t , substituímos de volta:
(y - 2t)^2 = 6t^2 + C
Expandindo o lado esquerdo:
y^2 - 4ty + 4t^2 = 6t^2 + C
Simplificando:
y^2 - 4ty - 2t^2 = C

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial y(2) = -1 para encontrar a constante C :
(-1)^2 - 4 cdot 2 cdot (-1) - 2 cdot (2)^2 = 1 + 8 - 8 = 1
Portanto, C = 1 .

Passo 9

Substituindo C na equação:
y^2 - 4ty - 2t^2 = 1
Essa é uma equação quadrática em y . Vamos resolvê-la para encontrar y(t) :
y^2 - 4ty - (2t^2 + 1) = 0

Passo 10

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
y = 4t pm raiz(4t)^2 + 4 cdot 1 cdot (2t^2 + 1)2
Simplificando dentro da raiz:
y = 4t pm raiz16t^2 + 8t^2 + 42 = 4t pm raiz24t^2 + 42 = 4t pm 2raiz6t^2 + 12
Cancelando o 2:
y = 2t pm raiz6t^2 + 1

Passo 11

Usamos a condição inicial y(2) = -1 para determinar o sinal correto. Substituindo t = 2 :
-1 = 2 cdot 2 pm raiz6 cdot (2)^2 + 1 Rightarrow -1 = 4 pm raiz24 + 1 Rightarrow -1 = 4 pm 5
A única solução que satisfaz é:
-1 = 4 - 5
Portanto, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

A solução explícita do PVI é:
y(t) = 2t - raiz6t^2 + 1

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