Resolva o PVI abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação para a derivada de y em relação a t , que é y' = 12 e^y t , e uma condição inicial y(1) = ln(2) . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é útil quando conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem t .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para destacar a separação das variáveis:
y' = 12 e^y t
Lembrando que y' é a derivada de y em relação a t , ou seja, dydt . Então podemos escrever:
dydt = 12 e^y t
Agora, vamos separar os termos com y dos termos com t . Multiplicando ambos os lados por 2 e^y t :
2 e^y t , dy = dt
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as funções cuja derivada nos dá os lados da equação.
Integramos o lado esquerdo em relação a y :
integral 2 e^y , dy
E o lado direito em relação a t :
integral 1t , dt
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 2 e^y , dy = 2 e^y + C1
Para o lado direito:
integral 1t , dt = ln|t| + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma só, já que são arbitrárias.
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando as constantes:
2 e^y = ln|t| + C
Onde C = C2 - C1 .
Passo 6
Agora, vamos resolver para y . Primeiro, isole e^y :
e^y = ln|t| + C2
Em seguida, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para y :
y = ln( ln|t| + C2 )
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante C . Sabemos que quando t = 1 , y = ln(2) .
Substituindo na equação:
ln(2) = ln( ln(1) + C2 )
Sabemos que ln(1) = 0 , então:
ln(2) = ln( C2 )
Passo 8
Para resolver a equação acima, eliminamos o logaritmo natural aplicando a função exponencial em ambos os lados:
2 = C2
Multiplicando ambos os lados por 2:
C = 4
Passo 9
Agora que encontramos C = 4 , substituímos de volta na equação geral: