Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.20 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes:
y'' + y = 0
Este é um problema clássico de EDO com método da equação característica: basta assumir y = e^r x e obter uma equação algébrica para r.

Passo 2

Assumindo y = e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo na EDO,
r^2 e^r x + e^r x = 0 Longrightarrow e^r x,(r^2 + 1) = 0
Como e^r xneq0, a equação característica é
r^2 + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Como as raízes são complexas conjugadas, a forma real da solução geral é
y(x) = C1cos x + C2sin x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x

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