Nos Problemas 35-40, use um SAC^* para, primeiro, calcular z^n=w, para os dados número complexo e valor de n seguir, usando a saída e o mesmo valor de n, determine se z=2.5-i ; n=10. Se não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede para calcular primeiro w = z^10 para z = 2.5 - i e em seguida verificar se a raiz principal de ordem 10 de w, isto é w^1/10, retorna o z original. Vamos usar a forma polar de números complexos e discutir o papel do ramo principal do argumento.

Passo 2

Converter z em forma polar. Calculamos o módulo e o argumento:
r = |z| = raiz2.5^2 + (-1)^2 = raiz7.25 approx 2.6926,
theta = arg(z) = arctanl(tfrac-12.5r) approx -0.3805 rad

Passo 3

Calcular w = z^10 usando propriedades da exponenciação em forma polar:
|w| = r^10 = l(raiz7.25r)^10 = 7.25^5 approx 20030.419,
arg(w) = 10theta = 10(-0.3805) = -3.804966 rad
Como esse argumento sai de (-pi,pi], ajustamos somando 2pi:
arg(w) = -3.804966 + 2pi approx 2.478219 rad

Passo 4

Determinar a raiz principal de ordem 10 de w. Na convenção do ramo principal, temos
|w|^1/10 = 20030.419^0.1 approx 2.9765,
argl(w^1/10r) = tfracarg(w)10 = tfrac2.47821910 approx 0.247822 rad
Assim
w^1/10 approx 2.9765l(cos(0.24782) + isin(0.24782)r)

Passo 5

Comparar w^1/10 com z e explicar a diferença. O z original tem
|z| approx 2.6926, arg(z) approx -0.3805 rad,
enquanto a raiz principal de w tem módulo approx2.9765 e argumento approx0.2478 rad. Eles não coincidem porque ao elevar a um inteiro e depois extrair a raiz, o argumento sofre um “salto” de múltiplos de 2pi e a convenção do ramo principal escolhe arg(w) em (-pi,pi], mudando o valor da raiz.

Passo 6

Portanto, o processo (z^10)^1/10 não retorna z quando usamos a raiz principal devido à escolha de ramo do argumento.

Resposta

Não, a raiz principal de ordem 10 de w = z^10 difere de z original. Isso acontece porque ao elevar e depois extrair a raiz na convenção do ramo principal, o argumento do complexo é ajustado em múltiplos de 2pi, levando a um valor diferente de z.

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