Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=2^infty 1n(ln n)^p, p>0

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=2^infty 1n(ln n)^p, cujo conteúdo é séries de termos positivos dependendo de p>0. Vamos usar o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

O teste da integral diz que, se definirmos a função contínua e decrescente f(x)=1x(ln x)^p para x>=2, então a convergência de sumn=2^infty f(n) é equivalente à convergência de integral2^infty f(x),dx.

Passo 3

Calculamos a integral correspondente. Fazendo a troca de variável u=ln x, com du=tfracdxx, obtemos:
integral2^infty dxx(ln x)^p = integralln 2^infty u^-p,du

Passo 4

Agora avaliamos integralln2^infty u^-p,du:
  • Se pneq1, temos integral u^-p,du=u^-p+1-p+1. O limite em utoinfty é finito somente se -p+1<0, ou seja, p>1.
  • Se p=1, então integral u^-1,du=ln u, e limutoinftyln u=infty, logo diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, concluímos que a série sumn=2^infty1n(ln n)^p converge se, e somente se, p>1; caso contrário (isto é, 0), ela diverge.

Resposta

Converge para p>1 e diverge para 0<p\le1.

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