Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
Estamos analisando a série
, cujo conteúdo é séries de termos positivos dependendo de
. Vamos usar o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
O teste da integral diz que, se definirmos a função contínua e decrescente
para
, então a convergência de
é equivalente à convergência de
.
Passo 3
Calculamos a integral correspondente. Fazendo a troca de variável
, com
, obtemos:
Passo 4
Agora avaliamos
:
- Se
, temos . O limite em é finito somente se , ou seja, . - Se
, então , e , logo diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, concluímos que a série
converge se, e somente se,
; caso contrário (isto é,
), ela diverge.
Resposta
Converge para p>1 e diverge para 0<p\le1.