Nos Problemas 35-40, use um SAC^* para, primeiro, calcular z^n=w, para os dados número complexo e valor de n seguir, usando a saída e o mesmo valor de n, determine se z=-0.5+0.3 i ; n=5. Se não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede para usar potências e raízes de números complexos (conteúdo: forma polar e Teorema de De Moivre). Temos que calcular primeiro w = z^n com z = -0.5 + 0.3i e n = 5, e depois verificar se a raiz w^1/n (ramificação principal) retorna o mesmo z.

Passo 2

Vamos colocar z em forma polar. O módulo é
r = |z| = raiz(-0.5)^2 + (0.3)^2 = raiz0.34 approx 0.5831
O argumento, usando atan2(Im z, Re z), fica
theta = atan2(0.3, -0.5) = pi - arctan(0.6) approx 2.6026 rad

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, para elevar à quinta:
z^5 = r^5 ;e^i5theta = (0.5831)^5 ;e^i(5times2.6026)
Numericamente,
r^5 approx 0.0675,
5theta = 5times2.6026 = 13.013 rad equiv 13.013 - 2pitimes2 = 0.447 rad (red módulo 2pi! ) ó
Logo,
w = z^5 approx 0.0675,e^i0.447 approx 0.0609 + 0.0292,i

Passo 4

Agora, a raiz quinta principal de w é
w^1/5 = (0.0675)^1/5 ;e^i(arg w)/5 = 0.5831,e^i(0.447/5)
Calculando,
0.447/5 = 0.0894 rad,
então
w^1/5 approx 0.5831,e^i0.0894 approx 0.5807 + 0.0521,i

Passo 5

Comparando com z = -0.5 + 0.3i, vemos que
w^1/5 neq z
Isso ocorre porque a raiz de um número complexo é multivaluada: a forma (z^n)^1/n = z vale só se escolhermos a ramificação adequada (ou seja, um valor de k em (arg w + 2pi k)/n). A ramificação principal ( k=0) não recupera o argumento original de z.

Resposta

z^5 \approx 0.0609 + 0.0292,i. A raiz quinta principal de w é 0.5807 + 0.0521,i, que não coincide com z porque a extração de raiz em números complexos é multivaluada e a ramificação principal não recupera o argumento inicial.

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