Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=0^inftyl(tfrac2n+13n+4r)^n. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz n-ésima, que nos diz que devemos calcular L=limntoinftyraiz[n]lvert anrvert e comparar com 1.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, escrevemos o termo geral an=l(tfrac2n+13n+4r)^n. Então
raiz[n]|an|=raiz[n]l(2n+13n+4r)^n=2n+13n+4

Passo 3

Precisamos agora encontrar o limite dessa expressão quando ntoinfty. Como nos importam apenas os maiores termos em n,
limntoinfty2n+13n+4=23<1

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L=limntoinftyraiz[n]|an|<1, a série converge absolutamente. Como aqui L=2/3<1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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