Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
, com
, é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o critério da integral: se
com
positiva, contínua e decrescente, então
e
têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem).
Passo 2
Primeiro ajustamos o ponto de partida: em
temos
, então consideramos a partir de
. Definimos
, que é positiva e decrescente em
. Aplicaremos o teste da integral a
.
Calculamos a integral imprópria:
Calculamos a integral imprópria:
Fazendo a troca de variável
Agora essa integral converge se, e só se,
, pois
Para
Resposta
A série converge se e somente se
, e diverge para
.