Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty 1(n ln n)^p, p>0

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty1(nln n)^p, com p>0, é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o critério da integral: se an = f(n) com f(x) positiva, contínua e decrescente, então sum an e integral f(x),dx têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem).

Passo 2

Primeiro ajustamos o ponto de partida: em n=1 temos ln1=0, então consideramos a partir de n=2. Definimos f(x)=1l(xln xr)^p, que é positiva e decrescente em [2,infty). Aplicaremos o teste da integral a f(x).
Calculamos a integral imprópria:
integral2^infty1l(xln xr)^p,dx
Fazendo a troca de variável u=ln x, então du=1xdx e quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
integralln2^infty1u^p,du
Agora essa integral converge se, e só se, p>1, pois

Para integralln2^inftyu^-p,du=u^1-p1-p|ln2^infty,&pneq1,[6pt]l[ln ur]ln2^infty,&p=1 temos p>1 e o limite em 1-p<0 é zero, logo a integral converge. Para infty o expoente 0 ou dá log divergente, então a integral diverge. Pelo critério da integral, a série tem o mesmo comportamento.

Resposta

A série converge se e somente se p>1, e diverge para 0.

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