Nos Problemas 35-40, use um SAC^* para, primeiro, calcular z^n=w, para os dados número complexo e valor de n seguir, usando a saída e o mesmo valor de n, determine se z=-1+raiz3 i ; n=11. Se não, explique por quê.

Passo 1

A gente tem o número complexo z=-1+raiz3,i e o expoente n=11. O conteúdo envolve representação trigonométrica de números complexos, cálculo de módulo e argumento, aplicação da fórmula de De Moivre para potências e extração da raiz n-ésima no ramo principal ( SAC^*).

Passo 2

Primeiro, convertemos z para a forma trigonométrica. Calculamos o módulo e o argumento:
r=|z|=raiz(-1)^2+l(raiz3r)^2=raiz1+3=2
Como z=-1+raiz3,i está no segundo quadrante,

Passo 3

Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar z à 11ª potência:
z^11=r^11l(cos(11theta)+isin(11theta)r)=2^11l(cos(11cdottfrac2pi3)+isin(11cdottfrac2pi3)r)

Passo 4

Reduzimos o ângulo 11theta=11cdottfrac2pi3=tfrac22pi3 ao ramo principal ( -pi,pi]. Subtraindo 4times2pi obtemos
tfrac22pi3-8pi=tfrac22pi-24pi3=-tfrac2pi3in(-pi,pi]
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w=z^11=2048l(cos(-tfrac2pi3)+isin(-tfrac2pi3)r)

Passo 5

Agora extraímos a raiz 11-ésima principal de w. O módulo fica 2048^1/11=2 e o argumento é

Assim
Arg(w)/11=-tfrac2pi/311=-tfrac2pi33

Passo 6

Comparando com z=2(cos(2pi/3)+isin(2pi/3)), vemos que o argumento -2pi/33 difere de 2pi/3. Ou seja, (z^n)^1/n no ramo principal não retorna z. Isso ocorre porque, ao elevarmos e depois reduzirmos o argumento modulo 2pi no ramo principal, perdemos múltiplos inteiros de 2pi.

Resposta

Não, pois a extração da raiz principal usa o argumento reduzido ao ramo principal e não recupera os múltiplos de 2pi, fazendo com que (z^11)^1/11neq z.

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