Os Problemas 2.38 a 2.41 se referem às matrizes seguintes:
A=[rr 1 & 2 3 & -4 ], B=[rr 5 & 0 -6 & 7 ], C=[rrr 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 ], D=[rrr 3 & 7 & -1 4 & -8 & 9 ]
2.39 Encontre (a) A B e (A B) C, (b) B C e A(B C). [Lembre que (A B) C=A(B C).]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 2.39 que fala sobre multiplicação de matrizes. A gente tem quatro matrizes diferentes: A, B, C e D. O que a gente precisa fazer aqui é calcular os produtos AB e (AB)C no item (a), e depois BC e A(BC) no item (b). Para isso, vamos usar a regra da multiplicação de matrizes, que basicamente envolve multiplicar as linhas de uma matriz pelas colunas da outra e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A B . A matriz A é uma matriz 2x2 e a matriz B também é 2x2. A multiplicação está ok porque o número de colunas de A (2) é igual ao número de linhas de B (2).
A multiplicação de duas matrizes é feita assim: cada elemento da linha da primeira matriz é multiplicado pelo elemento da coluna da segunda matriz e, depois, somamos esses produtos.
Então, vamos multiplicar A por B :
A = 1 & 2 3 & -4 , B = 5 & 0 -6 & 7
Calculando cada elemento de A B :
  • Elemento (1,1):
(1 times 5) + (2 times -6) = 5 - 12 = -7
  • Elemento (1,2):
(1 times 0) + (2 times 7) = 0 + 14 = 14
  • Elemento (2,1):
(3 times 5) + (-4 times -6) = 15 + 24 = 39
  • Elemento (2,2):
(3 times 0) + (-4 times 7) = 0 - 28 = -28
Portanto,
A B = -7 & 14 39 & -28

Passo 3

Agora, vamos calcular (A B) C . Já temos A B , que é uma matriz 2x2, e C é uma matriz 2x3. Para multiplicar A B por C , vamos seguir a mesma regra: multiplicar as linhas de A B pelas colunas de C .
A B = -7 & 14 39 & -28 , C = 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5
Calculando cada elemento de (A B) C :
  • Elemento (1,1):
(-7 times 1) + (14 times 2) = -7 + 28 = 21
  • Elemento (1,2):
(-7 times -3) + (14 times 6) = 21 + 84 = 105
  • Elemento (1,3):
(-7 times 4) + (14 times -5) = -28 - 70 = -98
  • Elemento (2,1):
(39 times 1) + (-28 times 2) = 39 - 56 = -17
  • Elemento (2,2):
(39 times -3) + (-28 times 6) = -117 - 168 = -285
  • Elemento (2,3):
(39 times 4) + (-28 times -5) = 156 + 140 = 296
Então,
(A B) C = 21 & 105 & -98 -17 & -285 & 296

Passo 4

Agora vamos para o item (b). Primeiro, vamos calcular B C . A matriz B é 2x2 e C é 2x3, então a multiplicação é possível.
B = 5 & 0 -6 & 7 , C = 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5
Calculando cada elemento de B C :
  • Elemento (1,1):
(5 times 1) + (0 times 2) = 5 + 0 = 5
  • Elemento (1,2):
(5 times -3) + (0 times 6) = -15 + 0 = -15
  • Elemento (1,3):
(5 times 4) + (0 times -5) = 20 + 0 = 20
  • Elemento (2,1):
(-6 times 1) + (7 times 2) = -6 + 14 = 8
  • Elemento (2,2):
(-6 times -3) + (7 times 6) = 18 + 42 = 60
  • Elemento (2,3):
(-6 times 4) + (7 times -5) = -24 - 35 = -59
Portanto,
B C = 5 & -15 & 20 8 & 60 & -59

Passo 5

Por último, vamos calcular A (B C) . Já temos A que é 2x2 e B C que é 2x3. A multiplicação é válida.
A = 1 & 2 3 & -4 , B C = 5 & -15 & 20 8 & 60 & -59
Calculando cada elemento de A (B C) :
  • Elemento (1,1):
(1 times 5) + (2 times 8) = 5 + 16 = 21
  • Elemento (1,2):
(1 times -15) + (2 times 60) = -15 + 120 = 105
  • Elemento (1,3):
(1 times 20) + (2 times -59) = 20 - 118 = -98
  • Elemento (2,1):
(3 times 5) + (-4 times 8) = 15 - 32 = -17
  • Elemento (2,2):
(3 times -15) + (-4 times 60) = -45 - 240 = -285
  • Elemento (2,3):
(3 times 20) + (-4 times -59) = 60 + 236 = 296
Então,
A (B C) = 21 & 105 & -98 -17 & -285 & 296

Resposta

(a)
A B = -7 & 14 39 & -28
(A B) C = 21 & 105 & -98 -17 & -285 & 296
(b)
B C = 5 & -15 & 20 8 & 60 & -59
A (B C) = 21 & 105 & -98 -17 & -285 & 296

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