Os Problemas 2.38 a 2.41 se referem às matrizes seguintes:
A=[rr 1 & 2 3 & -4 ], B=[rr 5 & 0 -6 & 7 ], C=[rrr 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 ], D=[rrr 3 & 7 & -1 4 & -8 & 9 ]
2.40 Encontre (a) A^2 e A^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar A^2 e A^3 , ou seja, a matriz A elevada ao quadrado e ao cubo. Estamos lidando com matrizes, que é um tema da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar a matriz A por ela mesma para obter A^2 e depois multiplicar A^2 por A para encontrar A^3 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 , que significa multiplicar a matriz A por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somar os resultados.

Passo 3

A matriz A é dada por:
A = 1 & 2 3 & -4
Para encontrar A^2 , fazemos:
A^2 = A times A = 1 & 2 3 & -4 times 1 & 2 3 & -4

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de A^2 :
  • Elemento (1,1):
(1 times 1) + (2 times 3) = 1 + 6 = 7
  • Elemento (1,2):
(1 times 2) + (2 times -4) = 2 - 8 = -6
  • Elemento (2,1):
(3 times 1) + (-4 times 3) = 3 - 12 = -9
  • Elemento (2,2):
(3 times 2) + (-4 times -4) = 6 + 16 = 22

Passo 5

Assim, a matriz A^2 fica:
A^2 = 7 & -6 -9 & 22

Passo 6

Agora, vamos calcular A^3 , que é A^2 multiplicado por A :
A^3 = A^2 times A = 7 & -6 -9 & 22 times 1 & 2 3 & -4

Passo 7

Vamos calcular cada elemento de A^3 :
  • Elemento (1,1):
(7 times 1) + (-6 times 3) = 7 - 18 = -11
  • Elemento (1,2):
(7 times 2) + (-6 times -4) = 14 + 24 = 38
  • Elemento (2,1):
(-9 times 1) + (22 times 3) = -9 + 66 = 57
  • Elemento (2,2):
(-9 times 2) + (22 times -4) = -18 - 88 = -106

Resposta

Portanto,
A^2 = 7 & -6 -9 & 22 e A^3 = -11 & 38 57 & -106

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