Nos Problemas 41-44, use o Teorema 2.6.3 para determinar a maior região no plano complexo em que a função f é contínua.
f(z)=z-1z barz-4

Passo 1

O enunciado pede pra usar o Teorema 2.6.3 (que diz que quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero) para achar a maior região em que
f(z)=z-1z,overline z-4
é contínua.

Passo 2

Vamos escrever o denominador em termos de módulo: como
z,overline z=|z|^2,
o denominador fica
|z|^2-4
Sabemos que a função módulo ao quadrado |z|^2 é contínua, logo |z|^2-4 também é contínua.

Passo 3

Pelo Teorema 2.6.3, f(z) é contínua sempre que o denominador não se anula, isto é, quando
|z|^2-4neq0Long<=ftrightarrow|z|^2neq4Long<=ftrightarrow|z|neq2

Passo 4

Logo o domínio de continuidade é
zin C:;|z|neq2,
que se decompõe em duas regiões conectadas:
$${z:|z|<2}\quade\quad{z:|z|>2}.
$$

Resposta

A função é contínua em
zin C:;|z|<2cupzin C:;|z|>2,
ou seja, em todo o plano complexo exceto a circunferência |z|=2.

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