Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem y’ − y = x. O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar do método do fator integrante. Ou seja, reconhecer que ela está na forma y’ + P(x)y = Q(x) e usar um fator μ(x)=e^{∫P(x)dx}.
Passo 2
Reescrevendo a equação y’ − y = x, identificamos P(x)=−1 e Q(x)=x. Logo, o fator integrante é dado por
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por μ(x)=e^{-x} para que o lado esquerdo vire a derivada de μ(x)y. Isso dá
Agora basta integrar ambos os lados em relação a x.
Passo 4
Precisamos calcular ∫x e^{-x}dx. Usando integração por partes, com u=x e dv=e^{-x}dx, temos du=dx e v=−e^{-x}. Então
Passo 5
Voltando à expressão para e^{-x}y, obtemos
Multiplicando por e^{x}, isolamos y e chegamos à solução geral.
Passo 6
Isolando y, concluímos que
Resposta
y(x)=Ce^{x}-x-1