Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em R :
y^prime-y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem y’ − y = x. O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar do método do fator integrante. Ou seja, reconhecer que ela está na forma y’ + P(x)y = Q(x) e usar um fator μ(x)=e^{∫P(x)dx}.

Passo 2

Reescrevendo a equação y’ − y = x, identificamos P(x)=−1 e Q(x)=x. Logo, o fator integrante é dado por
μ(x)=e^integral P(x),dx=e^integral (−1),dx=e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por μ(x)=e^{-x} para que o lado esquerdo vire a derivada de μ(x)y. Isso dá
e^-xy' - e^-xy = x e^-x Longrightarrow ddxl(e^-xyr)=x e^-x
Agora basta integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Precisamos calcular ∫x e^{-x}dx. Usando integração por partes, com u=x e dv=e^{-x}dx, temos du=dx e v=−e^{-x}. Então
integral x e^-xdx = -x e^-x - integral(-e^-x),dx = -x e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C

Passo 5

Voltando à expressão para e^{-x}y, obtemos
e^-xy = integral x e^-xdx + C = -(x+1)e^-x + C
Multiplicando por e^{x}, isolamos y e chegamos à solução geral.

Passo 6

Isolando y, concluímos que
y(x) = Ce^x - (x+1)

Resposta

y(x)=Ce^{x}-x-1

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