Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em R :
y^prime-3 y=x^3+x

Passo 1

Aqui a gente quer resolver y' - 3y = x^3 + x. É uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos precisar da solução geral composta pela parte homogênea e por uma solução particular. Para a homogênea, usamos separação de variáveis ou reconhecemos a forma padrão de equações lineares de 1ª ordem; para a particular, escolhemos o método de coeficientes indeterminados porque o termo não homogêneo é polinomial.

Passo 2

A parte homogênea vem de resolver y' - 3y = 0. Isso é separável: escrevendo dydx = 3y, integramos integral 1y,dy = integral 3,dx, o que dá ln|y| = 3x + C. Logo, a solução homogênea é
$$y_h = Ce^{3x}.
$$ Explicação: em equações lineares, a homogênea define o comportamento base que depois adaptamos com o termo não homogêneo.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, notamos que o termo não homogêneo x^3 + x é um polinômio de grau 3. O método de coeficientes indeterminados diz para tentar uma solução particular também polinomial de grau 3. Então assumimos
yp = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada de yp:
yp' = 3Ax^2 + 2Bx + C
Substituímos yp e yp' na equação original:
$$y_p’ - 3y_p = (3Ax^2 + 2Bx + C) - 3(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D).
yp' - 3yp = (3Ax^2 + 2Bx + C) - 3(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) -3A x^3 + (3A - 3B)x^2 + (2B - 3C)x + (C - 3D).
$$
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito, -3A x^3 + (3A - 3B)x^2 + (2B - 3C)x + (C - 3D) . Portanto, igualamos coeficientes:

Passo 5

• Para x^3: -3A = 1
• Para x^2: 3A - 3B = 0
• Para x: 2B - 3C = 1
• Termo constante: C - 3D = 0

Passo 6

Resolvendo esse sistema: de -3A = 1 vem A = -tfrac13. Então 3(-tfrac13) - 3B = 0 B = -tfrac13. Com B achamos 2(-tfrac13) - 3C = 1, logo C = -tfrac59. Por fim C - 3D = 0 D = -tfrac527. Assim,
$$y_p = -\tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.
$$

Passo 7

Somando a parte homogênea e a particular, a solução geral da equação é
$$y(x) = Ce^{3x} - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.
$$ Aqui y(x) = Ce^3x - tfrac13x^3 - tfrac13x^2 - tfrac59x - tfrac527 é a constante de integração livre que representa a família de soluções.

Resposta

y(x) = Ce^{3x} - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.

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