Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em
:
Passo 1
Aqui a gente quer resolver
. É uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos precisar da solução geral composta pela parte homogênea e por uma solução particular. Para a homogênea, usamos separação de variáveis ou reconhecemos a forma padrão de equações lineares de 1ª ordem; para a particular, escolhemos o método de coeficientes indeterminados porque o termo não homogêneo é polinomial.
Passo 2
A parte homogênea vem de resolver
. Isso é separável: escrevendo
, integramos
, o que dá
. Logo, a solução homogênea é
$$y_h = Ce^{3x}.
$$ Explicação: em equações lineares, a homogênea define o comportamento base que depois adaptamos com o termo não homogêneo.
Passo 3
Para achar uma solução particular
, notamos que o termo não homogêneo
é um polinômio de grau 3. O método de coeficientes indeterminados diz para tentar uma solução particular também polinomial de grau 3. Então assumimos
onde
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Substituímos
$$y_p’ - 3y_p = (3Ax^2 + 2Bx + C) - 3(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D).
$$
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito, . Portanto, igualamos coeficientes:
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito,
Passo 5
• Para
:
• Para :
• Para :
• Termo constante:
• Para
• Para
• Termo constante:
Passo 6
Resolvendo esse sistema: de
vem
. Então
dá
. Com
achamos
, logo
. Por fim
dá
. Assim,
$$y_p = -\tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.
$$
Passo 7
Somando a parte homogênea e a particular, a solução geral da equação é
$$y(x) = Ce^{3x} - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.
$$ Aqui
é a constante de integração livre que representa a família de soluções.
Resposta
y(x) = Ce^{3x} - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{5}{9}x - \tfrac{5}{27}.