Nos Problemas 41-44, use o Teorema 2.6.3 para determinar a maior região no plano complexo em que a função
é contínua.
Passo 1
A questão: determinar o maior domínio em que a função f(z)=z²/((|z|−1)·Im(z)) é contínua. O conteúdo é: continuação de funções complexas e Teorema 2.6.3 (quociente de funções contínuas). Vamos usar que f é quociente de numerador e denominador contínuos, e é contínua onde o denominador não zera.
Passo 2
A função numerador g(z)=z² é polinomial em z, logo g é contínua em todo \x03C.
As funções h₁(z)=|z|−1 e h₂(z)=Im(z) são contínuas em todo \x03C, pois módulo e parte imaginária são funções contínuas.
O denominador H(z) = h₁(z)·h₂(z) é produto de h₁ e h₂, portanto H é contínua em todo \x03C.
As funções h₁(z)=|z|−1 e h₂(z)=Im(z) são contínuas em todo \x03C, pois módulo e parte imaginária são funções contínuas.
O denominador H(z) = h₁(z)·h₂(z) é produto de h₁ e h₂, portanto H é contínua em todo \x03C.
Passo 3
Pelo Teorema 2.6.3, o quociente f(z)=g(z)/H(z) é contínuo em todos os pontos onde H(z)≠0.
Passo 4
Resolvendo H(z)=0, temos |z|−1=0 ⇒ |z|=1 ou Im(z)=0 ⇒ z∈ℝ. Logo f não é contínua nem na circunferência |z|=1 nem no eixo real. Assim o maior domínio de continuidade é o conjunto complementar.
Passo 5
A maior região de continuidade de f é
Resposta
{z\in\mathbb{C}:|z|\neq1e\operatorname{Im}(z)\neq0}