Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em R :

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem linear em ℝ, especificamente
y' - 3y = (3x^2 + 1)e^3x,
que é do tipo y' + p(x)y = q(x) com p(x) = -3 e q(x) = (3x^2+1)e^3x. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Para uma equação do tipo y' + p(x)y = q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx
Aqui, p(x) = -3, então
mu(x) = e^integral -3,dx = e^-3x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^-3x. Isso dá
e^-3xy' - 3e^-3xy = (3x^2+1)e^3xe^-3x = 3x^2 + 1
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-3x, pois
ddxl(y,e^-3xr) = e^-3xy' + y,(-3)e^-3x = e^-3xy' - 3e^-3xy

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-3x = integral(3x^2+1),dx = x^3 + x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Basta isolar y. Multiplicando ambos os lados por e^3x obtemos
y(x) = l(x^3 + x + Cr)e^3x

Passo 6

Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

y(x) = (x^3 + x + C)e^3x, onde C é constante de integração.

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