Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
x raiz1+y+y raiz1+x=4

Passo 1

A gente tem a equação xraiz1+y + yraiz1+x = 4. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto, já que temos x vezes raiz1+y e y vezes raiz1+x, além da regra da cadeia para derivar as raízes.

Passo 2

Lembrando da regra da derivada de uma raiz, para u(x) vale ddxraizu = u'2raizu. Então ddxraiz1+y = y'2raiz1+y e ddxraiz1+x = 12raiz1+x.

Passo 3

Agora diferenciando ambos os lados da igualdade em relação a x: aplicando regra do produto em xraiz1+y e em yraiz1+x, e sabendo que a derivada de 4 é zero, obtemos:
raiz1+y + x cdot y'2raiz1+y + y' cdot raiz1+x + y cdot 12raiz1+x = 0

Passo 4

A seguir, agrupamos os termos que têm y' de um lado e os que não têm do outro:
y'(x2raiz1+y + raiz1+x) + (raiz1+y + y2raiz1+x) = 0
Isolando y', ficamos com
y'(x2raiz1+y + raiz1+x) = -(raiz1+y + y2raiz1+x)

Passo 5

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 2raiz1+yraiz1+x, limpando as frações e chegando à forma:
dydx = -2(1+y)raiz1+x + yraiz1+yxraiz1+x + 2(1+x)raiz1+y

Resposta

dydx = -2(1+y)raiz1+x + yraiz1+yxraiz1+x + 2(1+x)raiz1+y

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