Nos Problemas 43 e 44, resolva o dado sistema de equações para z1 e z2.

Passo 1

Primeiro, o enunciado pede para resolver um sistema linear de duas equações com incógnitas complexas z1 e z2. O conteúdo principal é sistemas lineares no campo dos complexos e vamos usar a regra de Cramer, que exige calcular determinantes de matrizes 2×2.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes A e calculamos det(A). Temos:
A = i & 1+i 2 - i & 2i
Pelo determinante de 2×2,
det(A) = i cdot 2i - (1+i),(2-i) = 2i^2 - (1+i)(2-i)
Como 2i^2 = -2 e (1+i)(2-i)=3+i, conclui-se
det(A) = -2 - (3+i) = -5 - i

Passo 3

Para encontrar z1 pela regra de Cramer, substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos livres e calculamos det(A1):
A1 = 1+2i & 1+i 4i & 2i , det(A1) = (1+2i)cdot2i - (1+i)cdot4i
Como (1+2i)2i = -4 + 2i e (1+i)4i = -4 + 4i, temos
det(A1) = (-4+2i) - (-4+4i) = -2i
Logo
z1 = det(A1)det(A) = -2i-5 - i = 2+10i26 = 1+5i13

Passo 4

Para z2, substituímos a segunda coluna de A pelo vetor dos termos livres e calculamos det(A2):
A2 = i & 1+2i 2-i & 4i , det(A2) = icdot4i - (1+2i)(2-i)
Como icdot4i = -4 e (1+2i)(2-i)=4+3i, obtemos
det(A2) = -4 - (4+3i) = -8 - 3i
Então
z2 = det(A2)det(A) = -8-3i-5 - i = 43+7i26

Resposta

z1 = 1+5i13, z2 = 43+7i26

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