Questão 2
Seja a equação seguinte :
a. Provar que a função
, definida por
para todo
, é um fator de integração da equação
.
b. Resolver a equação (
).
b. Resolver a equação (
Passo 1
O enunciado dá uma equação na forma ,(M(x,y)+N(x,y)y’=0), pede para provar que ,I(x,y)=xy é fator de integração e depois resolver a equação resultante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator de integração.
Passo 2
Identificamos as funções
M(x,y)=2y^2-6xy
N(x,y)=3xy-4x^2+1/x
Verificamos que originalmente ,∂M/∂y=4y-6x e ,∂N/∂x=3y-8x-1/x^2, não são iguais, logo não é exata.
M(x,y)=2y^2-6xy
N(x,y)=3xy-4x^2+1/x
Verificamos que originalmente ,∂M/∂y=4y-6x e ,∂N/∂x=3y-8x-1/x^2, não são iguais, logo não é exata.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por I(x,y)=xy. Assim definimos as novas funções
Passo 4
Calculamos as derivadas mistas:
e
.
Como são iguais, a equação é exata após multiplicar por , logo
é fator de integração.
e
Como são iguais, a equação é exata após multiplicar por
Passo 5
Para resolver a equação exata, buscamos uma função potencial
tal que
. Integramos em x:
Passo 6
Depois calculamos
e igualamos a
:
Dessa igualdade segue
Passo 7
Substituindo
em
obtemos a solução implícita geral:
Resposta
x2y3-2x3y2+\tfrac{y^2}{2}=C