Questão 2

Seja a equação seguinte :
(2 y^2-6 x y)+(3 x y-4 x^2+1x) y^prime=0 (E1)
a. Provar que a função I, definida por I(x, y)=x y para todo (x, y) in R^2, é um fator de integração da equação E1.
b. Resolver a equação ( ).

Passo 1

O enunciado dá uma equação na forma ,(M(x,y)+N(x,y)y’=0), pede para provar que ,I(x,y)=xy é fator de integração e depois resolver a equação resultante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator de integração.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y)=2y^2-6xy
N(x,y)=3xy-4x^2+1/x
Verificamos que originalmente ,∂M/∂y=4y-6x e ,∂N/∂x=3y-8x-1/x^2, não são iguais, logo não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por I(x,y)=xy. Assim definimos as novas funções
M^*=xy,(2y^2-6xy)=2xy^3-6x^2y^2,
N^*=xy,(3xy-4x^2+1/x)=3x^2y^2-4x^3y+y

Passo 4

Calculamos as derivadas mistas:
∂M^*/∂y=6xy^2-12x^2y
e
∂N^*/∂x=6xy^2-12x^2y.
Como são iguais, a equação é exata após multiplicar por xy, logo xy é fator de integração.

Passo 5

Para resolver a equação exata, buscamos uma função potencial F(x,y) tal que ∂F/∂x=M^*. Integramos em x:
F(x,y)=integral (2xy^3-6x^2y^2),dx = x^2y^3-2x^3y^2 + h(y)

Passo 6

Depois calculamos ∂F/∂y e igualamos a N^*:
∂F/∂y=3x^2y^2-4x^3y + h'(y) = 3x^2y^2-4x^3y+y
Dessa igualdade segue h'(y)=y e, integrando, h(y)=y^2/2.

Passo 7

Substituindo h(y) em F(x,y) obtemos a solução implícita geral:
x^2y^3-2x^3y^2+y^22=C

Resposta

x2y3-2x3y2+\tfrac{y^2}{2}=C

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