Os Problemas 2.51 a 2.53 se referem às matrizes A=[rr2 & -5 3 & 1], B=[ll4 & -2 1 & -6], C=[ll6 & -4 3 & -2].
2.51 Encontre (a) A^2 e A^3, (b) f(A) e g(A), onde
f(x)=x^3-2 x^2-5, g(x)=x^2-3 x+17

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & -5 3 & 1
e pede (a) as potências A^2 e A^3, e (b) avaliar os polinômios
f(x)=x^3-2x^2-5 e g(x)=x^2-3x+17
em x=A. Aqui vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de polinômio de matriz, isto é, I é a matriz identidade 2times2.

Passo 2

Para achar A^2 usamos a definição A^2 = A cdot A. Calculando termo a termo,
A^2 = 2 & -5 3 & 1 2 & -5 3 & 1 = 2 cdot 2 + (-5) cdot 3 & 2 cdot (-5) + (-5) cdot 1 [6pt] 3 cdot 2 + 1 cdot 3 & 3 cdot (-5) + 1 cdot 1 = -11 & -15 [3pt] 9 & -14 ]

Passo 3

Para A^3 fazemos A^3 = A^2 cdot A. Assim,
A^3 = -11 & -15 9 & -14 2 & -5 3 & 1 = -11 cdot 2 + (-15) cdot 3 & -11 cdot (-5) + (-15) cdot 1 [6pt] 9 cdot 2 + (-14) cdot 3 & 9 cdot (-5) + (-14) cdot 1 = -67 & 40 [3pt] -24 & -59 ]

Passo 4

Agora f(A)=A^3-2A^2-5I. Temos já A^3 e A^2, então
2A^2 = -22 & -30 18 & -28, 5I = 5 & 0 0 & 5
Logo,
f(A) = -67 & 40 -24 & -59 - -22 & -30 18 & -28 - 5 & 0 0 & 5 = -50 & 70 -42 & -36

Passo 5

Para g(A)=A^2-3A+17I, calculamos
3A = 6 & -15 9 & 3, 17I = 17 & 0 0 & 17
Então
A^2 - 3A = -11 & -15 9 & -14 - 6 & -15 9 & 3 = -17 & 0 0 & -17,
e
g(A) = -17 & 0 0 & -17 + 17 & 0 0 & 17 = 0 & 0 0 & 0

Resposta

(a)
A^2 = -11 & -15 [3pt] 9 & -14, A^3 = -67 & 40 [3pt] -24 & -59
(b)
f(A) = -50 & 70 [3pt] -42 & -36, g(A) = 0 & 0 [3pt] 0 & 0 ]

Exercícios relacionados