Os Problemas 2.51 a 2.53 se referem às matrizes A=[rr2 & -5 3 & 1], B=[ll4 & -2 1 & -6], C=[ll6 & -4 3 & -2].
2.52 Encontre (a) B^2 e B^3, (b) f(B) e g(B), onde
f(x)=x^2+2 x-22, g(x)=x^2-3 x-6

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = 4 & -2 [6pt] 1 & -6
e pede que calculemos (a) as potências B^2 e B^3 e (b) os polinômios de matriz
f(B)=B^2 + 2B - 22I, g(B)=B^2 - 3B - 6I
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de polinômio de matriz, em que I é a matriz identidade 2times2.]

Passo 2

Calculando
B^2 = Bcdot B =4 & -2 [3pt]1 & -6 4 & -2 [3pt]1 & -6 = 4cdot4 + (-2)cdot1 & 4cdot(-2) + (-2)cdot(-6) [6pt] 1cdot4 + (-6)cdot1 & 1cdot(-2) + (-6)cdot(-6) =14 & 4 [3pt]-2 & 34 ]

Passo 3

Agora
B^3 = B^2 cdot B =14 & 4 [3pt]-2 & 34 4 & -2 [3pt]1 & -6 = 14cdot4 + 4cdot1 & 14cdot(-2) + 4cdot(-6) [6pt] (-2)cdot4 + 34cdot1 & (-2)cdot(-2) + 34cdot(-6) =60 & -52 [3pt]26 & -200 ]

Passo 4

Para
f(B)=B^2 + 2B - 22I
temos
2B = 24 & -2 [3pt]1 & -6 =8 & -4 [3pt]2 & -12, 22I=22 & 0 [3pt]0 & 22
Somando
B^2 + 2B =14 & 4 [3pt]-2 & 34 +8 & -4 [3pt]2 & -12 =22 & 0 [3pt]0 & 22,
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f(B)=22 & 0 [3pt]0 & 22 -22 & 0 [3pt]0 & 22 =0 & 0 [3pt]0 & 0 ]

Passo 5

Para
g(B)=B^2 - 3B - 6I
calculamos
-3B = -12 & 6 [3pt]-3 & 18, 6I=6 & 0 [3pt]0 & 6,
e então
B^2 - 3B =14 & 4 [3pt]-2 & 34 +-12 & 6 [3pt]-3 & 18 =2 & 10 [3pt]-5 & 52,
portanto
g(B) =2 & 10 [3pt]-5 & 52 -6 & 0 [3pt]0 & 6 =-4 & 10 [3pt]-5 & 46 ]

Resposta

(a)
B^2 = 14 & 4 [3pt]-2 & 34, B^3 = 60 & -52 [3pt]26 & -200
(b)
f(B) = 0 & 0 [3pt]0 & 0, g(B) = -4 & 10 [3pt]-5 & 46 ]

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