Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
. Podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Passo 3
Agora, queremos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Observe que podemos reescrever
como
. Assim:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A equação fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Passo 6
A integral do lado direito
não pode ser expressa em termos de funções elementares. Essa integral é conhecida e é relacionada à Função Erro (
). Portanto:
Passo 7
Unindo os resultados das integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.