Resolva a equação diferencial.
d yd t=1y e^y+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação dydt = 1y e^y + t^2. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e t e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis y e t. Podemos reescrever a equação assim:
dydt = 1y e^y + t^2
Multiplicando ambos os lados por y e^y + t^2 e por dt, temos:
y e^y + t^2 dy = dt

Passo 3

Agora, queremos separar os termos que envolvem y dos que envolvem t. Observe que podemos reescrever e^y + t^2 como e^y cdot e^t^2. Assim:
y e^y e^t^2 dy = dt
Dividindo ambos os lados por e^t^2:
y e^y dy = e^-t^2 dt

Passo 4

Agora, com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A equação fica:
integral y e^y dy = integral e^-t^2 dt

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo integral y e^y dy usando integração por partes. Seja:
  • u = y Rightarrow du = dy
  • dv = e^y dy Rightarrow v = e^y
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral y e^y dy = y e^y - integral e^y dy = y e^y - e^y + C
Simplificando:
e^y (y - 1) + C

Passo 6

A integral do lado direito integral e^-t^2 dt não pode ser expressa em termos de funções elementares. Essa integral é conhecida e é relacionada à Função Erro ( erf(t)). Portanto:
integral e^-t^2 dt = raizpi2 , erf(t) + C

Passo 7

Unindo os resultados das integrais, temos:
e^y (y - 1) = raizpi2 , erf(t) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^y (y - 1) = raizpi2 , erf(t) + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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