Nos problemas abaixo, achar a solução geral da equação em questão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra achar a solução geral da equação
. Bora lá! A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. O que vamos precisar é encontrar a solução da parte homogênea (sem o termo da direita) e uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Isso significa que estamos procurando funções
cuja segunda derivada mais
vezes a função delas mesmas seja zero. A solução geral dessa parte homogênea é uma combinação linear de senos e cossenos:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Normalmente, tentaríamos assumir que
tem a mesma forma que o termo da direita, então algo como
. Porém, dá problema aqui porque isso faz parte da solução homogênea, ou seja, já está “incluído” nela. Isso significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular que não seja redundante.
Passo 4
Vamos supor então uma solução particular da forma
. Agora, vamos calcular as derivadas dessa expressão:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação original
, temos:
Simplificando, os termos com
se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos senos e dos cossenos dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.