Nos problemas abaixo, achar a solução geral da equação em questão.
u^prime prime+omega^2 u=cos omega t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra achar a solução geral da equação u'' + omega^2 u = cos omega t . Bora lá! A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. O que vamos precisar é encontrar a solução da parte homogênea (sem o termo da direita) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é u'' + omega^2 u = 0 . Isso significa que estamos procurando funções u cuja segunda derivada mais omega^2 vezes a função delas mesmas seja zero. A solução geral dessa parte homogênea é uma combinação linear de senos e cossenos:
uh(t) = C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t)
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular up(t) para a equação completa u'' + omega^2 u = cos omega t . Normalmente, tentaríamos assumir que up(t) tem a mesma forma que o termo da direita, então algo como A cos(omega t) + B sin(omega t) . Porém, dá problema aqui porque isso faz parte da solução homogênea, ou seja, já está “incluído” nela. Isso significa que precisamos multiplicar por t para encontrar uma solução particular que não seja redundante.

Passo 4

Vamos supor então uma solução particular da forma up(t) = t(A cos(omega t) + B sin(omega t)) . Agora, vamos calcular as derivadas dessa expressão:
Primeira derivada:
up' = A cos(omega t) + B sin(omega t) + t(-A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t))
Segunda derivada:
up'' = -2A omega sin(omega t) + 2B omega cos(omega t) + t(-A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t))

Passo 5

Substituindo up e suas derivadas na equação original u'' + omega^2 u = cos omega t , temos:
-2A omega sin(omega t) + 2B omega cos(omega t) + t(-A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)) + omega^2 t(A cos(omega t) + B sin(omega t)) = cos omega t
Simplificando, os termos com t se cancelam, restando:
-2A omega sin(omega t) + 2B omega cos(omega t) = cos omega t

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos senos e dos cossenos dos dois lados da equação:
Para cos(omega t) :
2B omega = 1 implies B = 12omega
Para sin(omega t) :
-2A omega = 0 implies A = 0
Então, a solução particular é:
up(t) = t (0 cdot cos(omega t) + 12omega sin(omega t)) = t2omega sin(omega t)

Resposta

A solução geral da equação é:
u(t) = C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) + t2omega sin(omega t)
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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