Nos problemas abaixo, achar a solução do PVI em questão.
Use o Wolfram Mathematica para encontrar a solução particular da equação
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Use o Wolfram Mathematica para encontrar a solução particular da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução particular da equação $ y’’ + 3y’ = 2t^4 + t^2 e^{-t} + \sin 3t $. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Para isso, precisamos achar uma solução que atenda ao lado direito da equação, que é uma combinação de polinômios, funções exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + 3y’ = 0 $. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para $ r $:
As soluções da equação homogênea são então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p(t) $ da equação completa. Como o lado direito é $ 2t^4 + t^2 e^{-t} + \sin 3t $, precisamos considerar cada termo separadamente.
Para $ 2t^4 $, vamos assumir uma solução do tipo polinomial de grau 4:
Para $ t^2 e^{-t} $, como a função exponencial não está na solução homogênea, assumimos:
Para $ \sin 3t $, usamos funções trigonométricas:
Passo 4
Vamos agora derivar $ y_{p1}(t) $:
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos por potência de $ t $:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais:
Como todos os coeficientes são zero, precisamos ajustar nossa suposição para incluir termos de menor ordem. Vamos tentar:
Derivando:
Substituindo na equação:
Ainda não conseguimos igualar, então ajustamos nossa suposição para incluir todos os termos necessários:
Resolvendo novamente, encontramos $ A = \frac{1}{6} $, $ B = 0 $, $ C = 0 $, $ D = 0 $, e $ E = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos para $ y_{p2}(t) = Ft^2 e^{-t} $. Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Como houve uma contradição, ajustamos nossa suposição para incluir um termo adicional:
Resolvendo, encontramos $ A = -\frac{1}{2} $, $ B = \frac{5}{4} $, e $ C = \frac{5}{8} $.
Passo 6
Por fim, para $ y_{p3}(t) = G \sin 3t + H \cos 3t $, derivamos:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Para $ G $, não há restrição adicional, então $ G = 0 $.
Passo 7
Agora, juntando todas as soluções particulares:
Resposta
A solução particular da equação é