Verifique se os vetores abaixo são combinação linear de v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1).
w=(3,5,11). Podemos dizer que w é gerado por v1, v2 e v3?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor w=(3,5,11) pertence ao espaço gerado pelos vetores
v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1)
Isso equivale a decidir se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=w
O conteúdo é combinação linear de vetores.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em cada coordenada, obtemos o sistema
alpha(1)+beta(-1)+gamma(1)=3,
alpha(-1)+beta(1)+gamma(1)=5,
alpha(2)+beta(1)+gamma(1)=11
Ou seja,
alpha - beta + gamma = 3,
-alpha + beta + gamma = 5,
2alpha + beta + gamma = 11

Passo 3

Somando a primeira e a segunda equações, eliminamos alpha e beta:
(alpha - beta + gamma)+(-alpha + beta + gamma)=3+5
2gamma = 8
gamma = 4

Passo 4

Substituindo gamma=4 nas duas primeiras equações:
alpha - beta = 3 - 4 = -1,
-alpha + beta = 5 - 4 = 1
Essas duas relações são equivalentes e implicam
beta = alpha + 1
Para determinar alpha, usamos a terceira equação.

Passo 5

Na terceira equação substituímos gamma=4 e beta=alpha+1:
2alpha + (alpha+1) + 4 = 11
3alpha + 5 = 11
3alpha = 6
alpha = 2,
logo
beta = 2 + 1 = 3

Resposta

Sim. O vetor w é gerado por v1,v2,v3, pois
w = 2,v1 + 3,v2 + 4,v3

Exercícios relacionados