Nos problemas abaixo verificar se a função dada, ou as funções dadas, constitucm solução da equação diferencial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada,
, é solução da equação diferencial
. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar
e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade. Vamos passar por cada passo com calma!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função
tem duas partes:
Para derivar a primeira parte, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, além do teorema fundamental do cálculo para a integral.
Passo 3
Derivando a primeira parte:
Aqui, a primeira parte vem da derivada da integral com respeito a
, que, pelo teorema fundamental do cálculo, é
. A segunda parte é a integral vezes a derivada de
, que é
.
Simplificando:
Portanto, a derivada da primeira parte é:
Passo 4
Agora, derivamos a segunda parte de
:
Então, a derivada total de
é a soma das derivadas das duas partes:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Distribuindo o
:
Perceba que os termos
e
se cancelam:
Resposta
Sim, a função dada satisfaz a equação diferencial
.