Nos problemas abaixo verificar se a função dada, ou as funções dadas, constitucm solução da equação diferencial: y^prime-2 x y=1 ; y(x)=e^x^2 integral0^x e^-t^2 d t+e^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada, , é solução da equação diferencial . Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade. Vamos passar por cada passo com calma!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função tem duas partes:
Para derivar a primeira parte, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, além do teorema fundamental do cálculo para a integral.

Passo 3

Derivando a primeira parte:
ddx ( e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt ) = e^x^2 cdot e^-x^2 + integral0^x e^-t^2 dt cdot ddx ( e^x^2 )
Aqui, a primeira parte vem da derivada da integral com respeito a e^x^2 cdot e^-x^2 = 1 , que, pelo teorema fundamental do cálculo, é ddx ( e^x^2 ) = 2x e^x^2 . A segunda parte é a integral vezes a derivada de 1 + 2x e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt , que é .
Simplificando:
Portanto, a derivada da primeira parte é:

Passo 4

Agora, derivamos a segunda parte de ddx ( e^x^2 ) = 2x e^x^2 :
y' = 1 + 2x e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt + 2x e^x^2
Então, a derivada total de é a soma das derivadas das duas partes:

Passo 5

Agora, vamos substituir y' - 2xy = (1 + 2x e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt + 2x e^x^2) - 2x ( e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt + e^x^2 ) e = 1 + 2x e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt + 2x e^x^2 - 2x e^x^2 integral0^x e^-t^2 dt - 2x e^x^2 na equação diferencial = 1 :
Distribuindo o :
Perceba que os termos e se cancelam:

Resposta

Sim, a função dada satisfaz a equação diferencial .

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