Nos problemas abaixo, determinar os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de
que fazem com que a função
seja solução da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos substituir a função proposta na equação e descobrir quais valores de
funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para encontrar as derivadas necessárias, precisamos diferenciar essa função em relação a
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
E agora, a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Podemos fatorar
dessa expressão:
Passo 5
Como
nunca é zero, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Resolvendo para
:
E extraindo a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são: