Nos problemas abaixo, determinar os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma y = c^(r x) : y'' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de que fazem com que a função seja solução da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos substituir a função proposta na equação e descobrir quais valores de funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para encontrar as derivadas necessárias, precisamos diferenciar essa função em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de em relação a :
E agora, a segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial :
Podemos fatorar dessa expressão:

Passo 5

Como nunca é zero, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Resolvendo para :
E extraindo a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são:

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