Nos problemas abaixo verificar se a função dada, ou as funções dadas, constitucm solução da equação diferencial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções dadas,
e
, são soluções da equação diferencial
para
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para conferir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial. Basicamente, se substituirmos
,
e
na equação com a função e suas derivadas, a igualdade deve se manter verdadeira.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função,
. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
A derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Como a soma resultou em 0, isso confirma que
é realmente uma solução da equação diferencial dada.
Passo 6
Agora vamos verificar a segunda função,
.
Primeiro, calculamos as derivadas.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada é:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:
Resposta
As duas funções
e
satisfazem a equação diferencial
.