Nos problemas abaixo verificar se a função dada, ou as funções dadas, constitucm solução da equação diferencial: x^2 y'' + 5 x y' + 4 y = 0, x > 0 ; y1(x) = x^(-2), y2(x) = x^(-2) * ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções dadas, e , são soluções da equação diferencial para . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para conferir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial. Basicamente, se substituirmos , e na equação com a função e suas derivadas, a igualdade deve se manter verdadeira.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função, . Precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
A derivada de em relação a é:
A segunda derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:

Passo 5

Como a soma resultou em 0, isso confirma que é realmente uma solução da equação diferencial dada.

Passo 6

Agora vamos verificar a segunda função, .
Primeiro, calculamos as derivadas.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:

Resposta

As duas funções e satisfazem a equação diferencial .

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