Nos problemas abaixo, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
3 t=e^t d yd t+y ln t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
3,t = e^t,dydt + y,ln t
e pede para classificar se ela é separável, linear, nenhuma ou ambas. O conteúdo aqui é identificação de tipos de EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Para identificar a forma padrão de uma equação linear em y, basta isolar dydt e colocar tudo no formato
dydt + P(t),y = Q(t)
Começando de
3,t = e^t,dydt + y,ln t,
passamos o termo que envolve y para o lado esquerdo e dividimos por e^t:
e^t,dydt = 3,t - y,ln t Longrightarrow dydt + ln te^t,y = 3,t,e^-t

Passo 3

Agora vemos que a equação está na forma
dydt + P(t),y = Q(t),
com
P(t) = ln te^t, Q(t) = 3,t,e^-t
Como P e Q dependem apenas de t, esta é uma equação linear de primeira ordem em y.

Passo 4

Para testar se é separável, tentaríamos escrever
dydt = g(y),h(t)
Aqui, do lado direito da forma isolada
dydt = 3,t,e^-t ;-; ln te^t,y,
temos soma de um termo que depende só de t com outro termo que é y vezes função de t. Isso não se fatoriza num produto g(y),h(t). Logo, a equação não é separável.

Resposta

A equação é linear, mas não é separável.

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