Nos problemas abaixo, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
3 r=d rd theta-theta^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem envolvendo as variáveis r e theta:
3,r = d rdtheta - theta^3
Precisamos determinar se ela é separável, linear, nenhuma ou ambas. Para isso, vamos usar as definições:
– Uma equação é linear se pode ser escrita na forma
d rdtheta + P(theta),r = Q(theta)
– Ela é separável se puder ser posta como
d rdtheta = f(r),g(theta)

Passo 2

Isolando o derivado, obtemos
d rdtheta = 3,r + theta^3
Em seguida, colocamos na forma padrão de uma equação linear:
d rdtheta - 3,r = theta^3

Passo 3

Comparando com
d rdtheta + P(theta),r = Q(theta),
vemos que aqui P(theta) = -3 (constante) e Q(theta)=theta^3. Logo, trata-se de uma equação linear de primeira ordem.

Passo 4

Para testar se é separável, precisaríamos escrever
d rdtheta = f(r),g(theta)
Mas temos
d rdtheta = 3,r + theta^3,
ou seja, soma de dois termos que dependem separadamente de r e de theta. Não é possível agrupar em um único produto f(r),g(theta). Portanto, não é separável.

Resposta

A equação dada é linear.

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