Nos problemas abaixo, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a seguinte equação diferencial de primeira ordem quanto a ser separável, linear, nenhuma ou ambas. O conteúdo aqui é reconhecimento de tipos de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar as definições de equação separável e de equação linear.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma . Temos
logo
Passo 3
Uma equação é separável se puder ser escrita como . Aqui
de onde
dyy=t-1t^2+1,dt,
mostrando que é de fato separável.
Passo 4
Uma equação é linear se for da forma
dydt+p(t),y=q(t)
Reescrevendo nossa equação:
dydt-t-1t^2+1,y=0,
que é um caso linear homogêneo com p(t)=-t-1t^2+1 e q(t)=0. Portanto também é linear.
Passo 5
Como satisfaz simultaneamente as condições de separabilidade e de linearidade, a classificação correta é que ela é ambas.