Nos problemas abaixo, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
(t^2+1) d yd t=y t-y

Passo 1

O enunciado pede para classificar a seguinte equação diferencial de primeira ordem quanto a ser separável, linear, nenhuma ou ambas. O conteúdo aqui é reconhecimento de tipos de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar as definições de equação separável e de equação linear.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma dydt=dots. Temos
(t^2+1),dydt=y,t - y
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dydt=y,(t-1)t^2+1

Passo 3

Uma equação é separável se puder ser escrita como h(y),dy = g(t),dt. Aqui
dydt=underbracet-1t^2+1g(t);underbraceyh(y),
de onde
dyy=t-1t^2+1,dt,
mostrando que é de fato separável.

Passo 4

Uma equação é linear se for da forma
dydt+p(t),y=q(t)
Reescrevendo nossa equação:
dydt-t-1t^2+1,y=0,
que é um caso linear homogêneo com p(t)=-t-1t^2+1 e q(t)=0. Portanto também é linear.

Passo 5

Como satisfaz simultaneamente as condições de separabilidade e de linearidade, a classificação correta é que ela é ambas.

Resposta

Ambas.

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