Nos problemas abaixo, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
x d xd t+t^2 x=sin t

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
x,dxdt + t^2x = sin t
e pede para classificar se ela é separável, linear, nenhuma ou ambas.
Para isso, vamos usar as definições:
  1. Uma EDO é linear em x se puder ser escrita na forma
dxdt + P(t),x = Q(t)
  1. Uma EDO é separável se puder ser escrita como
dxdt = f(t),g(x)

Passo 2

Vamos testar a linearidade. Primeiro dividimos tudo por x (assumindo xneq0) para isolar tfracdxdt:
dxdt + t^2 = sin tx
Para ser linear em x precisaríamos de algo como tfracdxdt + P(t),x = Q(t), em que Q(t) não depende de x. Aqui, tfracsin tx depende de x, logo não é linear.

Passo 3

Agora testamos a separabilidade. A partir de
dxdt = sin tx - t^2,
uma EDO separável exigiria
dxdt = f(t),g(x).
Mas temos uma soma de termos, um de forma f1(t),g1(x)=sin t/x e outro de forma f2(t),g2(x)=t^2cdot1. Não há fator comum que torne a expressão produto de uma única função de t por uma única função de x. Logo, não é separável.

Resposta

Nenhuma.

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