Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
d yd x=yx+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
dydx = yx + 2x + 1
Este é um caso de equação linear na forma
dydx + P(x),y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, isolamos os termos em y:
dydx - 1x,y = 2x + 1
Aqui temos P(x) = -tfrac1x e Q(x)=2x+1. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = expl(-ln|x|r) = 1x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x:
1x,dydx - 1x^2,y = 2 + 1x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(x),y:
ddx!l(yxr) = 2 + 1x

Passo 4

Integrando em relação a x:
yx = integrall(2 + 1xr),dx = 2x + lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração. Finalmente, multiplicamos por x para obter y:
y(x) = xl(2x + ln|x| + Cr) = 2x^2 + xlnl|xr| + C,x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = 2x^2 + xlnl|xr| + C,x,
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados