Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^inftyn!n^n
O conteúdo aqui é séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Defina
an=n!n^n
No teste da razão, calculamos
an+1an =(n+1)!(n+1)^,n+1n!n^n =(n+1),n^n(n+1)^,n+1 =l(nn+1r)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L=limntoinftyl(nn+1r)^n =limntoinftyl(1-1n+1r)^n =e^-1
Como e^-1<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que, pelo teste da razão com L=e^-1<1, a série
sumn=1^inftyn!n^n
é convergente.

Resposta

A série converge.

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