Nos problemas abaixo, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
y=sin x+x^2, d^2 yd x^2+y=x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = sin x + x^2
é solução da equação diferencial
d^2ydx^2 + y = x^2 + 2
O que precisamos fazer é calcular as derivadas de y e substituir na equação para ver se o lado esquerdo bate com o direito.

Passo 2

Calculando a primeira e a segunda derivada de
y = sin x + x^2
temos
y' = ddx(sin x + x^2) = cos x + 2x,
y'' = ddx(cos x + 2x) = -sin x + 2

Passo 3

Agora substituímos y e y'' em ,y'' + y:
y'' + y = l(-sin x + 2r) + l(sin x + x^2r) = -sin x + 2 + sin x + x^2 = x^2 + 2
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y=sin x+x^2 satisfaz y''+y=x^2+2, logo é solução da equação diferencial dada.

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